Ecuaciones diofánticas de dos incógnitas y de grado uno

Ecuaciones diofánticas de dos
incógnitas y de grado uno

Una ecuación diofántica de primer grado y
de 2 incógnitas tiene la forma

, cuyas soluciones se buscan en el conjunto de los
números enteros.

Teorema 1:

Las soluciones de la congruencia se pueden hallar por
distintos métodos.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Si los coeficientes de la ecuación
diofántica pueden ser almacenados en variables de tipo
Long , para resolver las ecuaciones diofánticas de primer
grado y de dos incógnitas se pueden utilizar las funciones
siguientes:

Ejemplo 3: Empleando el método directo
resolver la ecuación diofántica

Ejemplo 4: Empleando el método de Euler
resolver la ecuación diofántica:

Un método muy cómodo para
resolver las ecuaciones diofánticas es el método de
las fracciones continuas, que se expone a
continuación:

Así,

La codificación del método de
las fracciones continuas es la siguiente:

Ejemplo 5: Utilizando el
método de las fracciones continuas, resolver la
ecuación diofántica:

Si deseamos que la forma de la
solución obtenida por el método de las fracciones
continuas sea la misma que la forma de solución obtenida
por el método de Euler, es preciso añadir un poco
más de código al final de la función
Difanto1FC, obteniendo así la función Diofanto1FCB,
expuesto a continuación:

Los programas anteriores sirven cuando los coeficientes
de la ecuación y los números que intervienen en los
cálculos se pueden almacenar en variables de tipo Long. Si
los coeficientes de la ecuación son largos, para almacenar
los coeficientes hay que utilizar variables de tipo String y las
funciones aritméticas (Multiplicar, Sumar y Restar ,
DivisionEuclidea, MaxComDiv, MinComMult) expuestas en [9], para
efectuar los cálculos con enteros largos.

Ejemplo 6: Resolver la
ecuación diofántica siguiente:

Lo más rápido era el
método de las fracciones continuas.

Ejemplo 7: Hallar el máximo
común divisor de los números 129343542921 y
3108469675634 como una combinación lineal de estos dos
números:

Biliografia

[1] P.Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 1910

[2] R.D Garmichael:Thérie des nombre,
1919

[3] L.E. Dickson. Einfürung in die Zahlentheorie,
1931

[4] B.P. Huppert, Endlichen gruppen

[5] Kiss Ernö, A számelmélet Elemei,
Technikai Könyvkiado, Bukarest, 1960

[6] Eugen Rusu, Bazele teoriei numerelor,
1953

[7]Vinogradov, Los bases de la teoría de los
números (en ruso), 1952

[8] A.L. Hincin, Frac?ii Continue, Editura Tehnica,
Bucarest, 1960

[9] A. Peter Santha, Cálculos con números
enteros grandes en ordenadores, Monografias.com, 2012

[10] A.Peter Santha Congruencias, Monografias.com,
2013

Autor:

Aladar Peter Santha