Matemáticas Financieras – Interés simple. Ejercicios resueltos

UNIDAD I.

Interés
simple

INTERÉS SIMPLE: Es el que proporciona un capital sin
agregar rédito vencido, dicho de otra manera es el que
devenga un capital sin tener en cuenta los intereses

MONTO SIMPLE: Se define como el valor
acumulado del capital. Es la suma del capital más el
interés su ecuación es:

M = C + ICAPITAL:

También se le denomina valor actual
o presente del dinero, inversión inicial,
hacienda. 

TASA DE INTERÉS: Es el precio del
dinero que normalmente se indica en tanto por ciento (%), es
una operación comercial donde se hace uso de un
capital o de cualquier activo. 

TIPO DE INTERÉS: Interés
simple y compuesto

PLAZO O TIEMPO: Es el que normalmente se
especifica en el documento o contrato puede ser cualquier
unidad de tiempo; días, meses, años,
etc.

DESCUENTO: Es la disminución que se
hace a una cantidad por pagarse antes de su vencimiento. Es
el cobro anticipado de un valor que se vence en el
futuro.

TIPOS DE DESCUENTO:

DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE
INTERÉS: El valor presente C de una cantidad M con
vencimiento en una fecha posterior, puede ser interpretado
como el valor descontado de M. 

A este tipo de descuento se le conoce como
descuento racional. Dr= M - C

DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE DESCUENTO:
La tasa de descuento se define como la razón del
descuento dado en la unidad se tiempo (en este caso un
año) al capital sobre el cual esta dado el descuento. La
tasa de descuento anual se expresa como un porcentaje.
Conocido también como descuento
bancario. FORMULA: D = M d tFECHA FOCAL: Es la fecha que se
elige para hacer coincidir el valor de las diferentes
operaciones, dicho de otra manera es la fecha que se escoge
para la equivalenciaECUACIONES EQUIVALENTES: Es aquel que nos
sirve para conocer el monto del capital, invertido en un
tiempo especifico y con una cierta tasa de interés.El
valor total de las operaciones de adeudo debe ser igual a
las operaciones de pago.De las cuales tres de las
operaciones serán las que se conocerán
su valor y uno permanecerá en incógnita la
cual será despejada, después de esto se
conocerá su valor y se equilibrará la
ecuación.UNIDAD II

Interés
compuesto

INTERÉS COMPUESTO: Se le conoce como
interés sobre interés, se define como la
capitalización de los intereses al término de su
vencimientoPERIODO DE CAPITALIZACIÓN: Es el intervalo de
tiempo convenido y se calcula mediante la
siguiente

ecuación: n = ma.m

Donde:n= numero de periodosma =
número de añosm= frecuencia de
capitalizaciónFRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN: Es el
número de veces en un año que
de interés se suma al capitalMONTO COMPUESTO: Es el
total, el capital, incluyendo los
interés, capitalizables; dicho de otra forma es el
capital más los intereses capitalizadosMONTO
COMPUESTO DE INTERÉS FRACCIONARIO: Existen dos formas
para calcularlo:a) Utilizando el calculo del monto compuesto
más el monto simpleb) El segundo método es
calculándolo de manera fraccionariaTASA NOMINAL: Es
aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero, sin
ajustar la moneda por inflación.TASA EFECTIVA: Es cuando
el interés se capitaliza en forma
semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente
pagada o ganada es mayor que si se compone en forma
anual.TASA EQUIVALENTE: Cuando dos tasas de interés
anuales con diferentes periodos de capitalización
producen el mismo interés compuesto al cabo de un
año. Son las que se pagan al final del periodo, las
que teniendo diferente convertibilidad producen un mismo
monto.UNIDAD III.

Anualidades

ANUALIDAD: Conjunto de pagos iguales
realizados a intervalos iguales de tiempo.EJEMPLO DE
ANUALIDADES: Pagos mensuales por renta Cobro quincenal
o semanal por sueldo Abonos quincenales o mensuales a una
cuenta de crédito Pagos anuales de primas de
pólizas de seguro de vida  PLAZO DE UNA ANUALIDAD: Es
el tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y
el final.RENTA: Es el nombre que se da al pago periódico
que se hace

2.- MONTO, VALOR ACTUAL3.- RENTA, PLAZO E
INTERÉSUNIDAD IV.

Anualidades anticipadas

1.-
INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS

2.-
MONTO, VALOR ACTUAL

3.-
RENTA, PLAZO E INTERÉS

EJERCICIO DE TASA NOMINAL

1.-
¿A que tasa nominal convertible trimestralmente, un
capital de $30000.00 crecerá a $100,000.00 en cinco
años?

M = C
(1 + i)n 100000 / 30000 = (1 + i)n Pero (1 + i)n = (1 +
j/m)mn 

Donde
n = 5 años, y n = 4Así, (1 + j/4)20 = 100000 /
30000(1 + j/4) = (3.333333)1/20 j = 4{(3.333333)1/20 – 1)}j
= 4(1.062048 – 1)j = 0.24819Se requiere una tasa nominal de
24.82% convertible trimestralmente para que un capital de
$3,000.00 se convierta en un monto de $10,000.00 en un plazo
de 5 años. 

EJERCICIO TASA EFECTIVA:

1.-
¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se
recibe de un depósito bancario de $1000.00, pactado a
18% de interés anual
convertible mensualmente?

M =
1000 (1+0.015)12M = 1000(1.195618)M = 1195.62ç I = M – CI
= 1195.62 – 1000I = 195.62i = I / Ci = 195.62 / 1000i =
0.1956 

La
tasa efectiva de interés ganada es de 19.56%La tasa
equivalente a una tasa anual de 18% convertible mensualmente
es de 19.56% convertible anualmente.

La
relación entre ambas tasa puede verse como sigue: sea i la
tasa efectiva de interés, j la tasa de interés
nominal, y m el número de periodos de
capitalización al año.

Se ha
estableció que ambas tasas son equivalentes si producen el
mismo interés al cabo de un
año.

Por lo
tanto C (1 + i) = C(1 + j/m)mDividiendo ambos miembros de la
ecuación entre C, tenemos:

(1 +
i) =(1 + j/m)m i =(1 + j/m)m – 1Retomado el ejemplo
anterior: i = (1 + 0.18 / 12)12 – 1i = (1 + 0.015)12 – 1i =
(1.195618) – 1i = 0.195618i = 19.56 % 

Calcular el monto de $10,000.00 prestados al
8% de interés anual,Durante 9 años capitalizables
semestralmente.

Datos:

Formula:

na*mM
= ? M = C(1+j/m)C = $10,000.00j = 8% Sustitución: 
9*2m = 12 meses/año M =$10,000(1+ 0.08/2)18 na = 9
años M = $10,000(1.04)M = $10,000(2.025)M =
$20,250.00EJERCICIOS DE TASA EQUIVALENTE:

¿Cuál es la Tasa efectiva que se
paga por un préstamo bancario de $250,000.00 que se
pacta a 18% de interés anual?

Y se
convierte:

a)
Mensual Datos:

b)Trimestral C = $250,000.00

c)Semestral j = 18% = 0.18m = a) 12 b) 4 c)
2na = 1 DESARROLLO

 Se ha establecido que ambas tasas son
Equivalentes si producen un mismo interés al cabo de
un añoNota: Los números en rojos son
potencias.Determinar la tasa nominal i convertible
trimestralmente, que produce un rendimiento anual del 40%.
En esta caso la tasa de interés efectiva es ya conocida
(puede ser la tasa de inflación esperada en Un
año), y se desea conocer la tasa nominal j
convertible trimestralmente que producirá
dicho rendimiento.  

Fórmulas para calcular el monto y
valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas e
inmediatas:

Donde:R = Renta o pago por periodoM = Monto
o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de
todos los pagos al final de las operaciones.

n = número de anualidades, periodos
o pagos.C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total
de los pagos en el momento presente. i = tasa de
interés efectivam = número de
capitalización  j = tasa de interés
nominal Na = Número de añosSolución de
ProblemasMonto

Ejercicio 1. Que cantidad se
acumularía en un semestre si se depositaran $ 100,000
al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde
36% anual convertible mensualmente.En un diagrama de tiempo y
valor lo anterior nos quedaría de la siguiente
manera:

Al ser una tasa anual convertible
mensualmente tenemos:36/100/12 = .03 i = .03 n = 6

Como lo que se trata es de conocer lo que
se acumula en un lapso de tiempo (en este caso 6 meses y en
lo que existe una cantidad constante "anualidad " a abonarse
a la operación) por lo tanto estamos hablando de
conocer un monto y en consecuencia la fórmula que
utilizaremos es:

Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = 646
840.98

Lo anterior también se pudo haber
resuelto por medio de la fórmula de interés
compuesto donde tenemos:

M = C (1 + i )n 

Observando el diagrama de tiempo y valor de
la parte superior podemos deducir que los primeros 100, 000
pesos ganan interés por meses, los siguientes por
4,3,2,1 y los últimos no ganan interés sino que
solo se suman al monto por lo cual podemos decir
:

M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115
927

M = 100 000 ( 1 + .03 )4 = 112
551

M = 100 000 ( 1 + .03 )3 = 109
273

M = 100 000 ( 1 + .03 )2 = 106
090

M = 100 000 ( 1 + .03 )1 = 103
000———–546 841+ 100 000 los últimos 100 000 que no
ganan interés tenemos 646 841 (esto esta redondeado
por los cual es diferente al valor obtenido arriba en 2
centavos).

Una manera más de realizar lo
anterior seria mediante la fórmula del interés
compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre
más el depósito (100 000) que se hacen al
final de cada semestre:

Ejercicio 2. Cual es el monto de $ 2 000
semestrales depositados durante cuatro años y medio
en una cuenta bancaria que rinde 28% capitalizable
semestralmente.R = 2 000 n = 4.5/2 = 9 i = 28/100/2 = .14 y
utilizando la fórmula para calcular el monto en
operaciones que implican anualidades tenemos:

De donde tenemos M = 2000 (16.085348 ) = 32
170.69Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio
de la fórmula de interés compuesto donde
tenemos: M = C (1 + i )n 

 Una manera más de realizar lo
anterior seria mediante la fórmula del interés
compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre
más el deposito (2 000) que se hacen al final de cada
semestre:

Valor actual

Ejercicio 3. Cual es el valor actual de una
renta de $450 pesos depositados al final de cada uno de 7
trimestres si la tasa de interés es del 9%
trimestral.Debemos de entender como valor actual la cantidad de
dinero que a una tasa del 9% trimestral nos permitiera
obtener $450 pesos cada trimestre. O sea que si sumamos los
450 de cada trimestre obtenemos 3150 y lo que estamos
buscando es una cantidad menor que mas los intereses nos
permita obtener estos 450 por trimestre.C = ?R = 450i = 0.09n =
7

Lo cual nos da 450 (5.03295284) = 2 264.82
que es el valor que estamos buscando o sea la respuesta a
este ejercicio.Comprobación: Utilizando la fórmula
del interés compuesto para calcular un capital
o valor actual tenemos:

Ejercicio 4. Que es más conveniente
para comprar un automóvil:Pagar $ 26,000 de contado
o  b) $13,000 de enganche y $ 1300 al final de cada uno de
los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a
razón del 42% convertible mensualmente.Para resolver
este problema debemos ver el valor actual del enganche y los
12 abonos mensuales a esa tasa de interés y compararlos
contra el pago de contado.

R = 1300n = 12i = 42/100/12 =
0.035

Utilizando la formula del valor actual en
anualidades tenemos:

C = 1300 (9.663334) lo cual nos da 12
562.34, si a esto sumamos el enganche 13,000 tenemos
25,562.34 que es menor que el pago de contado y por lo tanto
es mas conveniente esta opción. Ejercicio 5.
Encuéntrese el importe pagado, en valor actual por
un aparato electrónico por el cual se entrego un
enganche de $ 1 400 pesos, se hicieron 7 pagos mensuales
vencidos por $ 160 y un ultimo pago al final del octavo mes
por $ 230, si se considera un interés del 27% anual
con capitalización mensual.

Para resolver este problema nos damos
cuenta que el enganche es valor actual así que
necesitamos conocer el valor actual de cada uno de los siete
pagos (iguales 160) y el octavo que es mayor para lo cual
haremos uso de la formula que nos permite calcular el valor
actual de anualidades y la formula que nos permite conocer
el valor actual de un monto (230) a una tasa de
interés ( 27% anual convertible mensualmente) en un
lapso de tiempo (8).

Solución es igual a:

a) El engancheb) El valor actual de la
anualidad con renta de 160c) El valor actual del pago finalb)
Usando la formula para el calculo de anualidades tenemosi =
27/100/12 = 0.0225n = 12

C = 160 ( 6.410246) = 1025.64c ) Usando la
fórmula para calculo de capital o valor actual
del interés compuesto tenemos:

C = 192.50Sumando los tres importes tenemos
1400 + 1025.64 +192.50 = $ 2 618.14que corresponde al valor
actual pagado por el aparato electrónico. ¿QUE SON
LAS ANUALIDADES ANTICIPADAS?Son aquellas en la que los pagos se
hacen al principio del periodo 

Como por ejemplo:El pago mensual que se
hace cuando se renta una casa, ya que primero se pago y
luego se habita el inmueble.

Otro concepto es "Son aquellas en las que
se conoce con certeza las fechas de los
períodos".

Autor:

Ironelis Santo Ferrera