Introducción a la lógica borrosa o difusa

Breve
historia

La idea de la lógica difusa o borrosa no es
nueva, aunque bajo el nombre de lógica difusa fuese
introducida sobre 1965, sus orígenes se remontan hasta
2,500 años. Ya Aristóteles consideraba que
existían ciertos grados de veracidad y falsedad y
Platón había trabajado con grados de
pertenencia.

En el siglo XVIII George Berkeley y David Hume
describieron que el núcleo de un concepto atrae conceptos
similares. Hume creía en la lógica del sentido
común, en el razonamiento basado en el conocimiento que la
gente adquiere de una forma ordinaria gracias a sus vivencias en
el mundo.

Immanuel Kant pensaba que únicamente los
matemáticos podían proveer definiciones claras y
que por lo tanto, muchos principios contradictorios no
tenían solución. Por ejemplo la materia
podía ser dividida infinitamente y al mismo tiempo no
podía ser dividida infinitamente. La corriente del
pragmatismo fundada a principios de siglo por Charles Sanders
Peirce, fue la primera en considerar ''vaguedades'', más
que falso o verdadero, como forma de acercamiento al mundo y al
razonamiento humano.

La idea de que la lógica produce contradicciones
fue popularizada por el filósofo y matemático
británico Bertrand Russell, a principios del siglo XX.
Russell estudió las vaguedades del lenguaje y llegó
a la conclusión que la vaguedad es un grado.Ludwig
Wittgenstein, filósofo austriaco, estudió las
diferentes acepciones de una misma palabra. En el lenguaje
corriente ocurre muy a menudo que la misma palabra designe de
modo y manera diferentes, porque pertenece a diferentes
símbolos, o que dos palabras que designan de modo y manera
diferentes se usen aparentemente del mismo modo en una
proposición.

La primera lógica de vaguedades fue desarrollada
en 1920 por el filósofo Jan Lukasiewicz, visualizó
los conjuntos con un posible grado de pertenencia con valores de
0 y 1, después los extendió a un número
infinito de valores entre 0 y 1. El término borroso
aplicado a la lógica y a la teoría de conjuntos y
sistemas procede de la expresión fuzzy sets (conjuntos
borrosos) acuñada por Lofti A. Zadeh, brillante ingeniero
eléctrico iraní nacionalizado en Estados Unidos,
profesor en las más prestigiosas universidades
norteamericanas, doctor honoris causa de varias instituciones
académicas.

Sus tesis entroncan, como podemos observar, con la obra
de pensadores de distintas disciplinas que tenían una
visión similar de los problemas y alejada de la
lógica tradicional. La paradoja del conjunto de Bertrand
Russell, el principio de incertidumbre de la física
cuántica de Werner Heisenberg, la teoría de los
conjuntos vagos de Max Black, otro filósofo
cuántico, sin olvidar la fundamental aportación del
polaco Jan Lukasiewicz, creador de la lógica multivaluada,
influyeron para que, entrada ya la segunda mitad del presente
siglo, Zadeh publicase su famoso ensayo "Fuzzy Sets", en
"Informations and Control".

Mientras que Russell y Black utilizaron el
término vagueness (vaguedad, vago) para referirse a la
nueva lógica o a para calificar a los conjuntos en la
teorización sobre los mismos, Zadeh prefirió el
término fuzzy (borroso, difuminado) para denominar a sus
conjuntos y a la lógica en la que se apoya su
análisis.

A partir de la publicación, en 1973, de la
teoría básica de los controladores borrosos de
Zadeh, otros investigadores comenzaron a aplicar la lógica
borrosa a diversos procesos, como por ejemplo, al control de
procesos en un sistema de control de vapor. También
podemos resaltar la aplicación, en 1980, de esta
técnica al control de hornos rotativos en una
cementera.

Uno de los países donde más éxito
ha tenido los sistemas borrosos ha sido en Japón. Empresas
como Fuji Elec. & TIT han desarrollado aplicaciones de
control fuzzy para el proceso de purificación del agua,
Hitachi con una aplicación de control fuzzy para el Metro
en Sendai City o Matsushita con una aplicación de control
fuzzy para la unidad de suministro de agua caliente para uso
doméstico.

Merece una mención especial la creación de
LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research) en
marzo de 1989, creado por el Ministerio de Comercio Internacional
e Industria en Japón (MITI). El capital de LIFE es al 50%
de compañías privadas japonesas y del propio
Ministerio, y su presidente es miembro del Instituto de
Tecnología de Tokio (TIT). En su sede trabajan en la
actualidad alrededor de 30 investigadores a tiempo
completo.

Pero también en USA las empresas han comenzado a
aplicar la lógica borrosa a sus desarrollos y proyectos.
Entre otras encontramos a la NASA, Boeing, Rochwell, Bell o a
Ford Motor Co., que experimenta con un sistema de aparcamiento
automático para camiones con remolque.

Introducción a la Lógica
Borrosa o Difusa

Debido a la variedad de sus aplicaciones la
lógica difusa (llamada también Lógica
Borrosa) o Fuzzy Logic parece estar introducida en todos los
sectores; control de complejos procesos industriales,
diseño de dispositivos artificiales de deducción
automática, construcción de artefactos
electrónicos de uso doméstico y de entretenimiento,
sistemas de diagnóstico, entre otros. Este hecho se hace
cada día más evidente si se observa el gran
número de patentes industriales de mecanismos basados en
la lógica difusa expedidas desde hace, por lo menos, una
década y media.En los últimos años se han
investigado y desarrollado diversas tecnologías
relacionadas con funciones y características humanas de
campos cercanos al psicológico (inteligencia artificial) y
a los procesos biológicos (redes neuronales, algoritmos
genéticos y programación evolutiva). Estas
tecnologías conocidas como "tecnologías
inteligentes" representan el conocimiento de una forma a la vez
entendible por los humanos y manejable por los sistemas
informáticos.

La lógica difusa es el elemento de desarrollo de
dichas tecnologías. Se podría considerar como un
lenguaje que permite trasladar sentencias sofisticadas del
lenguaje natural a un formalismo matemático. El
conocimiento se adquiere y se trabaja con él, de una
manera inferencial y deductiva, por medio de un razonamiento
simbólico. Obteniéndose, para la resolución
de un problema, un conjunto de hechos inciertos denominados
conjuntos difusos y a sus reglas lógica difusa.

En los años 60, en la Universidad de California
en Berkeley, Lotfi A. Zadeh introdujo el concepto de la
lógica difusa guiado por el principio de que las
matemáticas pueden ser usadas para encadenar el lenguaje
con la inteligencia humana. Algunos conceptos pueden ser mejor
definidos en términos de palabras, que por
matemáticas; la lógica difusa y su expresión
en conjuntos difusos, proveen una disciplina que puede construir
mejores modelos de la realidad.

La lógica difusa, o más bien, las
lógicas difusas, pues habría que hablar de ellas en
plural, son básicamente lógicas multivaluadas que
amplifican los enunciados de las lógicas clásicas.
Las clásicas imponen a sus enunciados únicamente
los valores falso o verdadero y de esta manera han modelado
satisfactoriamente una gran parte del razonamiento "natural".
Pero el razonamiento humano utiliza valores de verdad que no
tienen porque ser necesariamente "tan deterministas". Por medio
de la lógica difusa pueden formularse
matemáticamente nociones como "un poco caliente" o "muy
frío", de forma que sean procesadas por computadoras y
cuantificar expresiones humanas vagas, tales como "muy alto" o
"luz brillante". Pudiéndose, de esta forma, o más
bien, intentándose aplicar la forma de pensar del ser
humano a la programación de computadores, sensores, chips,
etc. Esta lógica permite cuantificar las descripciones
imprecisas que se usan en el lenguaje y las transiciones
graduales en los electrodomésticos como "ir de agua sucia"
a "agua limpia" en una lavadora, pudiéndose así
ajustar los ciclos de lavado a través de sensores. La
habilidad de la lógica difusa para procesar valores
parciales de verdad ha sido de gran ayuda para la
ingeniería. En conclusión, las lógicas
difusas crean aproximaciones matemáticas en la
resolución de ciertos tipos de problemas, produciendo
resultados exactos a partir de datos imprecisos, siendo por ello,
especialmente útiles en aplicaciones de tipo
electrónico e informático.La aplicación del
adjetivo "difusa" o "borrosa" es debida a que los valores de
verdad no-deterministas utilizados en las lógicas difusas
tienen mayoritariamente una connotación de incertidumbre.
Por lo que se equipara la incertidumbre con la difusidad, es
decir, con la propiedad de indeterminismo. Un elemento, por lo
tanto, puede estar lleno de incertidumbre, es decir, de
difusidad. Eso no quiere decir que los valores de verdad asumidos
por enunciados no deterministas, sean desconocidos. De hecho, lo
difuso puede entenderse como la posibilidad de asignar más
valores de verdad a los enunciados que "falso" o "verdadero" e
incluso en determinadas áreas de conocimiento, estos
enunciados van asociados a valores de verdad que son grados de
veracidad o falsedad.

Resumiendo, las lógicas difusas son tipos
especiales de lógicas multivaluadas que pueden llegar a
redefinir los grados de veracidad de los enunciados de salida
conforme se refinan los de los de entrada, por lo que algunos
sistemas de lógica difusa aparentan una labor de
aprendizaje, y son excelentes mecanismos de control de procesos.
La inteligencia artificial, fundamentada en el concepto "Todo es
cuestión de grado", es donde podemos encuadrar desde un
punto de vista tecnológico a las lógicas
borrosas.

Conceptos y
operaciones con los que trabaja la Lógica Borrosa o
Difusa.

Intervalos de Confianza: Constituyen los
datos y valores con los cuales trabaja la Lógica Borrosa,
pueden ser intervalos formados solos por dos números,
números borrosos triangulares o números borrosos
trapezoidales.

Niveles de Presunción o a corte: Expresan
los niveles de presición con los que son dados los
números borrosos, desde 0 (total impresición) hasta
1(total presición).

Evaluación: Asociación de
un valor numérico que puede ser negativo, positivo o nulo
a un objetivo concreto o abstracto realizado por un experto.
Correspondencia entre un valor borroso y un estado
real.

Valuación: Expresión de un nivel de
verdad, que toma valores del intervalo de confianza (0,1). El
nivel de presición que se le hace corresponder a la
evaluación dada por los expertos.

Adición (con números Reales en su
conjunto):

[a1; a2]+ [b1+ b2]= [a1+ b1; a2 + b2]

Sustracción:

[a1; a2]- [b1+ b2]= [a1- b2; a2 – b1]

Multiplicación:

[a1; a2]* [b1+ b2]= [mín (a1* b1; a1* b2; a2* b1;
a2* b2); máx (a1* b1; a1* b2; a2* b1; a2* b2)]

División:

A/B= A* B-1

Donde B-1= [mín (1/a1; 1/a2); máx
(1/a1; 1/a2)]

La noción
del Expertón

Primeramente se ha de tener una valoración o un
nivel de cualidad de cada alternativa a partir del criterio
definido por parte de cada una de las personas seleccionadas
expertas, obteniendo su apreciación mediante un intervalo.
La escala de posiciones de once valores, denominada endecadaria
es una de las más utilizadas ya que establece una buena
matización, pues no es ni demasiado reducida ni
excesivamente amplia, aunque el investigador tiene la
opción de escoger otra escala con diferente cantidad de
valores, donde a cada uno se le hace pertenecer una
expresión semántica que lo defina.

• 0: Excelente

• 0.1: Muy bien

• 0.2: Prácticamente bien

• 0.3: Casi bien

• 0.4: Bastante bien

• 0.5: Ni bien ni mal

• 0.6: Bastante mal

• 0.7: Casi mal

• 0.8: Prácticamente mal

• 0.9: Muy mal

• 1: Pésimo

Se confecciona una tabla de frecuencias, a partir de los
valores dados por los expertos, utilizando la correspondencia
semántica. En la misma se pone de manifiesto la veces que
cada experto ha asignado el mismo valor de la escala endecadaria,
tanto en relación con los extremos inferiores como
superiores de los intervalos.

Límite Inferior del intervalo
Límite Superior del Intervalo

Seguidamente se normalizan estos valores de frecuencias,
dividiendo cada valor por el número de expertos,
determinándose así las frecuencias normalizadas que
se colocarían en otra tabla semejante a la anterior para
finalmente obtener la función acumulada complementaria,
las acumulaciones se determinan a partir del nivel uno (1), en
lugar de hacerlo a partir del nivel cero (0) también en
una tabla como la inicial. Luego la sumatoria de los valores de
ambas columnas de la tabla de función acumulada
complementaria me permite obtener un intervalo, denominado
Esperanza Matemática, en el cual queda comprendida la
evaluación de un número determinado de expertos
respecto a un mismo criterio.

A continuación se presenta un ejemplo para lograr
una mejor comprensión.

Tabla 1: Expertón. Determinación de la
Esperanza Matemática con cuatro expertos

La Esperanza Matemática está representada
a través del intervalo (5.25, 6.75)

Bibliografía:

• Material docente utilizado por el autor en sus
  clases de "Herramientas gerenciales para toma de
  decisiones".

Autor:

Dr. C. Vladimir Vega Falcón

(CONAS)