UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
PROGRAMA DE ECONOMIA
CALCULO MULTIVARIADO

Lic. Erwin Maury Mancilla
1.5 Derivadas Parciales
Sabemos que la derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.
Suponga que dejamos que varíe solamente a x, dejando a y fija, digamos y = b, en donde b es una constante. Entonces, estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber: g(x) = f(x, b) Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con …ver más…

Esto conduce a la noción de derivada direccional.

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de z en el punto (x0, y0) en la dirección de un vector unitario arbitrario u ⃗ = (a, b) (a2 + b2 = 1). Para esto consideramos la superficie S con ecuación z = f(x, y) (la gráfica de f) y sea z0 = f(x0, y0). Entonces el punto P = (x0, y0, z0) está sobre S. El plano vertical que pasa por el punto P en la dirección del vector u ⃗ interseca a la superficie S en la curva T. La pendiente de la recta tangente a la curva Ten el punto P es la tasa de cambio de z en la dirección de u ⃗. (Fig. 14) Figura 14: derivada direccional en P en la dirección de u

Si Q = (x, y, z) es otro punto sobre la curva T, y si P’ y Q’ son las proyecciones sobre el plano xy de los puntos P y Q (Fig. 15), entonces el vector (P'Q') ⃗ es paralelo al vector u ⃗, y por consiguiente
(P'Q') ⃗ = hu ⃗ = (ha, hb) para algún escalar h Fig. 15
Así pues, x – x0 = ha  x = x0 + ha y – y0 = hb  y = y0 + hb y la razón de cambio está dada por
∆z/h=(z- z_0)/h = (f(x_(0 )+ ha,〖 y〗_0 +hb) -f(x_0, y_0 ))/h

y al tomar el límite cuando h → 0 obtenemos la tasa de cambio instantánea de z (con respecto a la distancia) en la dirección de u ⃗, la cual se llama derivada direccional de f en la dirección de y se simboliza así: D u ⃗f(x, y)

Si a ⃗ es cualquier vector con la misma dirección que u ⃗, también se afirmará que D u ⃗f(x, y) es la