ESPERANZA MATEMATICA
Definición:
Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad p(xi) la esperanza se calcula como:

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad :

La definición general de esperanza se basa, como toda la teoría de la probabilidad, en el marco de la teoría de la medida y se define como la siguiente integral:

La esperanza también se suele simbolizar con
Las esperanzas para se llaman momentos de orden . Más importantes son los momentos centrados .
No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribución de Cauchy no lo …ver más…

Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".
Nota: El primer paréntesis es la "esperanza" de perder tu apuesta de $1, por eso es negativo el valor. El segundo paréntesis es la esperanza matemática de ganar los $35. La esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variables aleatorias discretas
Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de