I
INTEGRACIÓN POR PARTES
Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.
1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x).
2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) · g(x), permite escribir, d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x)dx
3. Integrando los dos miembros, dfx*gx=gx*f´x+fx*g´(x)dx De la misma manera que dx=x, también dfx*gx=fx*g(x)
Por tanto, f(x)*g(x)=gx*f´xdx+fx*g´xdx. De aquí se obtiene que: fx*g´xdx=f(x)*g(x) - gx*f´(x)dx
Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du = f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior, u dv=u*v-v …ver más…

=
= x arc senx – x 1- x2- 12 dx=x arc sen x- - 12 – 2x 1- x2- 12 dx=
= x arc sen x + 12 (1- x2)-12+ 1- 12+ 1 =
= x arc senx + 12 (1- x2)1212 = x arc sen x + 1- x2+C
(4) x* 1+x dx
Solución:
* Llamando u = x, du = dx; dv= 1+x dx, v = 1+x dx = 1+x12 dx = (1+x)3232 * x1+x dx= 2x3 (1+x)32- 32 1+x32 dx =
= 2x3 (1+x)32- 23 (1+x)5252= 2x3 (1+x)3- 415 (1+x)5+ C

(5) x2* ex dx
Solución:
* Se hace la identificación u = x2; diferenciando, du = 2x dx * dv = ex dx, integrando, v = ex dx= ex * Aplicando la fórmula, x2 ex dx= x2* ex- ex*2x dx= x2 ex- 2 x ex dx (1) * Se vuelve a integrar por partes x ex dx * u = x, du = dx; dv = ex dx, v= exdx= ex * Así, x* ex dx=x ex- ex dx=x ex- ex= ex (x-1) * Llevando este resultado a (1),

x2 ex dx= x2 ex- 2ex x-1= ex x2- 2 (x-1)= ex x2- 2x+2+ C

EJERCICIOS DE REPASO: x cox x dx Respuesta: x sen x + cos x + C x3 ex dx Respuesta: ex x3- 3x2+ 6x-6+ C arccotgx dx Respuesta: x arc cotg x+ 12ln1+ x2+ C e3x sen 2x dx Respuesta: 113e3x-2cos2x+3sen 2x+ C x2lnx dx Respuesta: 13x3ln x- 13+ C

Referencia:
Calculo I volumen 1
Larson Hostetler Edwards
Mcgraw