Aula Exploratória - Cap. 3
1o Semestre de 2012

Exercício 1
Um avião segue a rota mostrada na figura. Primeiramente, ele voa da origem do sistema de coordenadas até a cidade A, localizada a 175km em uma direção que forma 300 com o eixo x. Em seguida, ele voa 153km para noroeste, formando 200 com a direção y, até a cidade B. Finalmente, ele voa 195km na direção oeste até a cidade C.

a) determine a localização da cidade C em relação à origem. Utilize a notação de vetores unitários. A cidade C está localizada no final dos deslocamentos: R=a+b+c Agora precisamos escrever os vetores a, b e c: a = axˆ + ay ˆ = 175 cos 30oˆ + 175sin30oˆ i j i j = 151, 55ˆ + 87, 50ˆ i j

b = 153 (−sen20o ) ˆ + 153 (cos 20o ) ˆ i j = −52, 33ˆ + 143, 77ˆ i j …exibir mais conteúdo…

Do item b) sabemos que a + b = 10ˆ + 5ˆ e que i j

a+b

√ = 5 5.

O angulo de b − a com a + b pode ser calculado pelo produto escalar: cos θ = Temos assim: θ = arccos 3 ≈ 53, 1o 5 b−a · a+b b−a a+b = 2ˆ + 11ˆ · 10ˆ + 5ˆ i j i j 20 + 55 75 √ √ = = 125 125 5 5×5 5

e) (extra) o ângulo entre as direções de b − a e a − b? i j Sabemos que b − a = 2ˆ + 11ˆ (calculado anteriormente). i j. a − b = − b − a = −2ˆ − 11ˆ √ E sabemos também que a − b = b − a = 5 5 Então o ângulo entre eles é dado por: cos θ = b−a · a−b b−a a−b −125 √ = −1 = √ 5 5×5 5

Logo sabemos que

Ou seja, o ângulo entre eles é de θ = 180o .

Exercício 4
São dados três vetores (em metros): ˆ r1 = −3, 0ˆ + 3, 0ˆ + 2, 0k i j ˆ r2 = −2, 0ˆ − 4, 0ˆ + 2, 0k i j ˆ r3 = 2, 0ˆ + 3, 0ˆ + 1, 0k i j Determinar: a) r1 · (r2 + r3 ); Primeiro vamos calcular a soma de vetores (r2 + r3 ): 5

ˆ (r2 + r3 ) = 0, 0ˆ − 1, 0ˆ + 3, 0k m i j Assim temos: r1 · (r2 + r3 ) = ˆ ˆ −3, 0ˆ + 3, 0ˆ + 2, 0k · 0, 0ˆ − 1, 0ˆ + 3, 0k i j i j

= (−3, 0) (0, 0) + (3, 0) (−1, 0) + (2, 0) (3, 0) = 3, 0m2 b) r1 · (r2 × r3 ); Primeiro vamos calcular o produto vetorial (r2 × r3 ) pelo determinante: ˆ ˆ ˆ i j k (r2 × r3 ) = −2, 0 −4, 0 2, 0 2, 0 3, 0 1, 0 ˆ = (−4, 0 − 6, 0) ˆ + (4, 0 − (−2, 0)) ˆ + (−6, 0 − (−8, 0)) k i j ˆ = −10, 0ˆ + 6, 0ˆ + 2, 0k m2 i j

Agora fazemos o produto escalar: ˆ ˆ r1 · (r2 × r3 ) = −3, 0ˆ + 3, 0ˆ + 2, 0k · −10, 0ˆ + 6, 0ˆ + 2, 0k i