Equações polinomiais

Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:

x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0 x8 – x6 – 6x + 2 = 0 x10 – 6x2 + 9 = 0

As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.

Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)

Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

Exemplo 1

Determine o …exibir mais conteúdo…

A adição de polinômios goza das propriedades; Associativa, comutativa, existência de elemento neutro, existência de elemento inverso aditivo. Tendo em vista a existência do elemento inverso aditivo definiremos a subtração dos
Polinômios A(x) e B(x) , A B A (B), então,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0
2
2 2
1
1 1 A x B x a b x a b xn a b x a b x a b n n n n n 

2.1.2. Multiplicação de Polinômios
Sejam: 1 0
2
2
1
1 A(x) a x a xn a x a x a n n n 

e 1 0
2
2
1
1 B(x) b x b xm b x b x b n m n 
 chama-se produto de polinômios
A.B, o polinômio 2 2
0 0 0 1 1 0 2 0 1 1 0 2 (A.B)(x) a b (a b a b )x (a b a b a b )x a b x m n  que é o polinômio em C, 1 0
2
2 C(x) c xm n c x c x c m n 
 , cujo grau é m n .
Exemplo de produto de polinômios,
3 3 4 4 5 5 3 7 4 5 5
( ) 3 4 5 , ( ) 1,( . )( ) (3 4 5)( 1) 3 ( 1) 4 ( 1) 5( 1)
4 3 3 2 4 3 2
3 2 3 2 3 2

 x x x x x x x x x
A x x x e B x x A B x x x x x x x x x que é do quarto grau.
2.2 POLINÔMIOS IDENTICAMENTE NULOS
7
Denomina-se polinômio identicamente nulo, o polinômio que tem todos seus coeficientes nulos, usaremos o símbolo para indicar a identidade.
Se P(x) 0, então todos os seus termos são nulos, x C
3.0 EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Sejam f (x) e g(x) , polinômios. Chama-se equação polinomial a sentença aberta definida pela