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Cálculo III 2a Lista de Exercícios 2013.1 1. Verifique se as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias satisfazem às equações diferenciais ao lado. Funções: a) y = C e 3x b) y = C cosx c) y = C1 cos3x + C2 sen3x. d) y = Cx3 e) y = ex + C1x + C2 Equações Diferenciais: y´+3y = 0 y´ + y tgx = 0 y´´ + 9y = 0 xy´= y y´´ = ex

2. Resolva as seguintes equações diferenciais a variáveis separáveis: dy 2x  xy 2 h)  a) y´+ y = 1 dx 4y  x 2 y b) x y´= 3y i) tg(x) y´ = y c) y´= 2xy dy  t  t3  0 dt di i e) 2   4 dt 2

n)

du  2  2u  t  tu dt

0) 2y(x+1)dy = x dx
 x 4  2x 2  1  y  y 3   0 p) y'   y  x    q) (y + yx2) dy + ( x + xy2) dx = 0

j) tg(x) sen2(y) dx + cos2(x) cotg(y) dy = 0

d) e y …exibir mais conteúdo…

a) x2y3 + x(1 + y2) y´ = 0
 ( x , y) 
 cos y  2e  x cos x   sen y  dy  0 ; b)   2e  x sen x dx    y  3   y   xy  

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 ( x, y)  yex
Observação: A função ( x, y) é chamada de fator integrante ou fator de integração para a equação dy  a x )y  ( x ) . Verifique quais das ( f dx seguintes equações são lineares, identificando as funções a(x) e f(x) e resolva as equações lineares

7. Uma equação diferencial linear de 1a ordem se escreve na forma

a) y´+exy =x2y2; d) yy´ = y2 + senx

b) y´ + 2y = 2ex; e) ( y  senx ) dx + x dy = 0 ;

c) x y´+ y + 4 = 0 ; f) y´  4y = 2x 4x2 ;

8. Resolva as equações a seguir que podem ser: variáveis separáveis, exatas ou lineares. a) y´= x  1 + xy  y c) (ysenx  tgx) dx + ( 1 – cosx ) dy = 0 e) (2xy + 1)dx + (x2 + 4y)dy = 0, y(1) = 1; b) x2y´  yx2 = y d) xy´+ y = 2x + ex y f) y'  x  2 , ye   0 x

3
Respostas

1.

a) sim. b) sim. c) sim. d) sim. b) x3 = Cy. k) 1  e x

e) não.
2

f) sim d) e y 

2. a) y = 1  Cex. f) y2 + cos(x2) = C.

c) y  Ce  x

g) e x y  Ce y  1  0 .

j) tg2(x) cotg2(y) = C n ) 2 ln(1+u) = 4t + t2 + C q) (1+y2) = C(1+x2)–1 a) y = x2/4.



3  Ctgy 

t2 t4   C . e) i  8  Ce t/4 2 4 2 h) 2 + y = C ( 4 + x2 ) i) y = C sen(x)

l) y 2  ln x 2  x 2  C m) y  2xe  x  2e  x  C p) 4 arctgy = x4 4x2 +4lnx + C t) lny = 1/x + x + C s) y  x  5 ln x  1  C

 

0) y 2  x  ln x  1 