Cursos de Engenharia – Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos / Cálculo IV

2ª Lista de Exercícios: Tópicos de Cálculo Vetorial 2012.2

Profs: Ilka Freire / Ricardo Luis Queiroz

1. Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
a) .
d) .
b) .
e)
c) .

2. Seja e , com e ; .
Calcule: a) . b) .

3. Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t ( t > 2) o seu vetor posição é dado por .
a) Esboce a trajetória da partícula e determine a posição da partícula nos instantes t = 3;
b) Quando t se aproxima de 2, o que ocorre com a posição da partícula?

4. Calcule:
a)
b)

5. Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
a)
c) …exibir mais conteúdo…

Diga, justificando, se cada expressão a seguir tem significado. Em caso afirmativo diga se o resultado é um campo escalar ou vetorial: a1) ; a2) a3) a4) ; a5)

B) Calcule o valor das expressões que têm significado no item A) para e

23. Define-se o operador 2 =  . = . Se 2 opera sobre u(x,y,z) produz uma função escalar chamada de Laplaciano de f , dada por . Funções que satisfazem a equação de Laplace , 2 = 0, são chamadas de funções harmônicas e desempenham papel importante nas aplicações físicas.

Verifique se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio:

a)
b)
c)

24. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado

a) f(x,y ) = arctg (xy ); b) f(x,y,z) = x2 – 3y2 + 4z2; c) f(x,y,z) = sen( x2 + y2 + z2 )

25. Confirme que u é uma função potencial de F

a) u(x,y) = 2y2 + 3x2y – xy3 e F(x,y) = (6xy y3) i + (4y + 3x2 3xy2) j.

b) u(x,y,z) = xsenz + ysenx + zseny e F(x,y,z) = (senz + ycosx) i + (senx + zcosy) j + (x cosz + seny) k.

26. Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos

a) F(x,y) = xi + yj

b) F(x,y) = x2 i + 5xy2 j
c) F(x,y) = (cosy + ycosx)i + (senx xseny) j
d)
e) = (ycosxy + yexy)+(xcosxy + xexy) +
f) = (yz + cosx)+(xz  seny) +xy

27. Seja C a curva dada pelas equações x = 2t; y = 3t2 ( 0  t  1). Calcule