TRANSFORMAÇÕES LINEARES

I – Introdução:

Definição: Função é uma relação que associa a cada elemento de um conjunto domínio, um único elemento de um conjunto contra-domínio.

Exemplos: - f (x) = |x| : No conjunto dos números inteiros Z, a função f associa cada inteiro x a um único módulo |x| .

- f (x) = 2x2 + 1 : A função f associa a cada real x um único valor 2x2 + 1.

Notação e terminologia:

1. A função f de domínio D e contra-domínio E denota-se f: D ( E

2. Se a função f associa x a y, y chama-se imagem de x e x a pré-imagem de y. Denota-se f: x ( y ou, simplesmente, f (x) = y.

3. O conjunto das imagens chama-se Conjunto Imagem. Denota-se Im(f).

4. Função vetorial: domínio e …exibir mais conteúdo…

Ou seja:
( ii ) [pic]

2ª) Se T: V (W é uma T.L. e B = [pic] é uma base de V, teremos:
T.(a1[pic]+... + an[pic]) = a1. T([pic])+... +an.T.([pic]) , para ( a1,..., an ( (.
Esta propriedade decorre da definição de T.L., ou seja:
T.(a1[pic]+ a2[pic]+... +an[pic]) = T(a1[pic])+ T.(a2[pic]) +... +T.(an[pic]) = a1.T([pic]) + a2T([pic])+... + an.T.([pic]).

Como B = {[pic]} é uma base para V, o conjunto{ T([pic]),...,T([pic]) } é uma base para a imagem da transformação.

Exemplo:

1) Seja a T.L. T: (2 ( (3 tal que T.(1, 1) = (2, -1, 1) e T(0, 1) = (0, 0, 1).
Determinar a Lei de Transformação (x, y).
B = { (1, 1), (0, 1) } é base do (2 pois a1(1, 1) +a2(0, 1) = (0, 0) ( [pic] a1 = a2 = 0, ou seja, [pic]= (1, 1) e [pic]= (0, 1) são L.I. Logo, todo vetor v ( (2 pode ser escrito como combinação linear de [pic] e [pic].
(x, y) = a1.(1, 1) +a2.(0, 1) ( [pic]
Assim:
(x, y) = x.(1, 1) +(y – x).(0, 1) e,
T.(x, y) = x.T.(1, 1) + (y – x).T.(0, 1) = x.(2, -1, 1) + (y – x). (0, 0, 1)
T.(x, y) = (2x, -x, y)[pic]

II - Núcleo e Imagem de uma Transformação.

Núcleo : Seja a transformação linear T: V(W, núcleo é o conjunto de todos os vetores v ( V que são transformados em 0 ( W:

N(T) ou Ker (T) = {v ( V/ T(v) = 0}

OBS. O núcleo de uma transformação T: V(W é um subespaço de V.

O núcleo, ou Kernel, de T é o subconjunto de V definido por:

Ker