Séries de Fourier
Cálculo III - ECT 1312
Escola de Ciências e Tecnologia
Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Março 2012

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Março 2012

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Funções Periódicas
Nosso objetivo é expressar uma função como uma série (infinita), mas não em termos de potências de x (Série de Taylor), mas como uma Série
Trigonométrica

f (x) = a0 + a1 cos(x) + b1 sin(x) + a2 cos(2x) + b2 sin(2x) + · · · .
A série acima, quando existir, é chamada de Série de Fourier.
Definição
Uma função f (x) é chamada de função periódica se existir um número real p tal que f (x + p) = f (x) para todo x no domínio de f .
São exemplos de funções periódicas as funções sin(x) e cos(x), enquanto que as funções x, x2 , x3 , …exibir mais conteúdo…

Uma partição P de I é uma sequência finita a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b tal que I = n−1 [xi , xi+1 ]. Dizemos que f (x) é i=0 contínua por partes em I se for contínua em cada subintervalo [xi , xi+1 ].
Teorema 3
Consideremos que f (x) seja periódica, tenha período 2π e seja contínua por intervalos no intervalo −π ≤ x ≤ π. Além disso, considermos que f (x) possua derivadas tanto à direita quanto à esquerda desse intervalo. Então a série de
Fourier de f (x) converge. Sua soma é f (x), excetuando-se nos pontos x0 onde f (x) é descontínua. Nesses pontos, a soma é a média dos limites de f (x) à esquerda e à direita.

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

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Convergência e Soma de uma Série de Fourier
Exemplo 2
Determine os limites à direita e à esquerda para a função

f (x) =

x2 se x < 1
,
x/2 se x > 1

no ponto x = 1.
O limite à direta é dado por

f (1+ ) = lim f (1 + h) = lim h→0 h→0

1+h 1
= .
2
2

Já o limite à esquerda é dado por

f (1− ) = lim f (1 − h) = lim (1 − h)2 = 1. h→0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

h→0

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Funções de um Período Qualquer p = 2L
Coeficientes de Fourier para uma função de período p = 2L
Seja g(v) uma função periódica de período p = 2π, com coeficientes de
Fourier dados por

1 π g(v)dv, 2π −π
1 π an = g(v) cos(nv)dv, π −π
1 π bn = g(v) sin(nv)dv, π −π a0 =

e série g(v) = a0 + ∑∞ [an