Curvas continuas em ℝ
Em matemática, uma curva é, em termos gerais, um objecto semelhante a uma linha, mas que não é obrigatoriamente recta. Tecnicamente, uma curva é o lugar geométrico ou trajectória seguida por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a existência do objecto definido.

Curvas em

Vamos começar por discutir duas formula matemáticas da noção intuitiva de curva.
Daremos alguns exemplos de curvas de cada tipo e modos praticas de passar de um tipo para o outro. Já todos temos uma ideia, pelo menos intuitiva, de curva. Quando questionado para dar um exemplo de uma curva, o leitor pode dar uma linha recta, por exemplo
, ou …exibir mais conteúdo…

Em geral, o domínio da curva pode ser um intervalo de qualquer tipo. Uma curva parametrizada cujo traço esteja contido numa curva de nível diz-se uma parametrização de (parte de) . Os exemplos seguintes ilustram como passar de curvas de nível para curvas parametrizadas.

Uma curva pode ser vista como a descrição do movimento de uma partícula em . representa a posição da partícula no instante.

Exemplo: [→

O traco de e o traco de são ambos de centro (0,0) no primeiro caso a circunferencia é periodica no centido direito, no segundo é periodico 32 veses são sentidos dos ponteiros de um relogio e 32 veses no centido direito.

Curvaturas

Os elementos que caracterizam a forma de uma curva é o seu grau de flexão de encurvamento. Uma curva que não tem pontos duplos e que tem uma tangente determinada em cada ponto, tracemos as tangentes á curva em dois pontos quaisquer A e B e designamos por alfa ().

O ângulo formado por este tangente ou o ângulo de rotação da tangente quando se passa do ponto A ao ponto B chama-se ângulo de contingência do arco AB (figura 1).
Dois arcos do mesmo comprimento, o mais encurvado é aquele cujo ângulo de contingência é maior (figura 1e 2). Por o outro lado não se pode directamente caracterizar o grau de encurvamento dos arcos de