Universidad Rafael Landívar
Facultad de Ingeniería
Ecuaciones Diferenciales

Reacciones Químicas

INTRODUCCION

En el presente trabajo se le mostrara, la relación entre los problemas de reacciones químicas y con una formulación matemática; así mismo, se expondrán dos ejemplos de problemas de reacciones químicas resueltas por medio de una formulación matemática la cual es ecuaciones diferenciales de primer orden.

Reacciones Químicas
Procesos de Primer y Segundo Orden

En una reacción química, la rapidez del cambio de una sustancia puede ser proporcional a la cantidad de esa sustancia presente en un momento dado. Este tipo de reacción se conoce como un proceso de primer orden. Si x es la cantidad de sustancia presente en un …ver más…

Para formar x kilogramos de C necesitaremos 2x/3 kg de A y x/3 kg de B, puesto que se necesita doble cantidad de A que de B. Por lo tanto, la cantidad de A presente en el instante t, en que se ha formado x kilogramos de C, será 10- 2x/3 y la cantidad presente de B será 20-x/3. Por consiguiente,

dxdt=k10-2x320-x3

Donde k es una constante de proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse en la forma:

dxdt=k15-x60-x

En donde k es una nueva constante. Hay dos condiciones; puesto que inicialmente no se tiene el producto C, x=0 cuanto t=0; y también x=6 cuanto t=1/3. Necesitamos ambas condiciones, una para hallar k y la segunda para determinar la constante arbitraria de la resolución de la ecuación diferencial. La formulación completa es:

dxdt=k15-x60-x, x=0 para t=0, x=6 para t=13

Resolución. Separando variables se obtiene:

dx15-x(60-x)=k dt

De:

k dt=kt+ c1
De:

dx15-x(60-x)= 145115-x-160-xdx=145ln60-x15-x

Entonces,

145ln60-x15-x=kt+ c1

Multiplicando ambos lados por e :

60-x15-x=ce45kt

Puesto que x=0 cuanto t=0, c=4. Por tanto,

60-x15-x=4e45kt

Como x=6 cuando t=1/3, tendremos que e15k=32. Por consiguiente,

60-x15-x=4(e15k)3t=4 (32)3t
De donde,

x=15[1-(23)3t]1-14(23)3t

Cuando t→∞ , x→15kg.

Ejemplo 2:

Se está formando una sustancia ϒ por la reacción de dos sustancias α y β, de forma que a gramos