Transformaciones lineales

3454 palabras 14 páginas
´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a

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Tema 4: Aplicaciones lineales
Ejercicios
1. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : R2 −→ R3 , definida por f (x, y) = (x + y, x − y, x). (b) f : R −→ R2 , definida por f (x) = (−3x, 2x). (c) f : R2 −→ R2 , definida por f (x, y) = (x + y, 1). (d) f : R2 −→ R, definida por f (x, y) = xy. (e) f : R2 −→ R2 , definida por f (x, y) = (x cos φ − y sen φ, x sen φ + y cos φ), con 0 ≤ φ < 2π. (f) f : R3 −→ P2 (R), definida por f (a, b, c) = a + bx + cx2 . 2. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : Mn×n (R) −→ A ∈ Mn×n (R) : A = At , definida por f (A) = es la matriz traspuesta de A). (c) f : Pn (R) −→ Pn (R), definida por f (p(x)) =
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a a+b . c−d a−b

15. Sea f : P3 (R) −→ M2×2 (R) definida por f (a + bx + cx2 + dx3 ) = Obt´n la matriz de la aplicaci´n lineal, su imagen y su e o     3 −→ R4 la aplicaci´n lineal de ecuaciones 16. Sea f : R o    n´cleo. u y1 y2 y3 y4

= x + 2z = −x − y − z = 2y − 3z =x−z

(a) Halla las ecuaciones param´tricas e impl´ e ıcitas de Ker f e Im f . (b) Si T = L ({(1, 1, −1, 0), (0, 1, 1, 2)}), halla las ecuaciones param´tricas e impl´ e ı−1 (T ). citas de f 17. Sean f : R3 −→ M2×2 (R) y g : M2×2 (R) −→ P3 (R) las aplicaciones definidas por f (x1 , x2 , x3 ) = x1 − x2 x2 x2 x2 − x3 g(A) = 1 x A x x2

(a) Prueba que son aplicaciones lineales. (b) Halla sus matrices respecto de las bases usuales. ¿Cu´les son sus rangos? a (c) Halla sus n´cleos e im´genes. u a (d) Halla la matriz de g ◦ f , su rango, y su n´cleo e imagen. u 18. En R3 se  a Aa = 1 1 define el endomorfismo f cuya matriz, respecto de la base can´nica, es o  1 1 a 1. 1 a

(a) Halla los valores de a para los que f no es automorfismo. En estos casos, halla bases del n´cleo y de la imagen. u (b) Para a = 2, encuentra un vector u = 0 tal que f (u) ∈ L({u}). 19. Sea M el subespacio vectorial de M2×2 (R) definido por M= α + β 2α − β −α α + 2β : α, β ∈ R

(a) Construye f : M2×2 (R) −→ R3 tal que Ker f = M . (b) ¿Existe f : M2×2 (R) −→ R3 que verifique (a) y sea epimorfismo? 20. Sea f : R3 −→ R3 una aplicaci´n lineal tal que f (0, 0, −1) = (2, −5, −3) y f (v) = o 3v, para todo v ∈ S = {(x,

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