Aplicaciones de las integrales anidadas

José Albeiro Sánchez Cano
Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT josanche@eafit.edu.co Resumen

En este artículo se demuestra una propiedad de las integrales iteradas y su aplicación |

Abstract

In this paper one demostrates to a property of the nested integrals and its applications. |

Palabras claves: Integrales iteradas, Transformada de Laplace

Keys words: Nested integrals, Laplace transforms,

Introducción

La integral anidada es una integral evaluada múltiple veces sobre una misma variable en contraste a las integrales múltiples, que consiste de un número de integrales evaluadas con respecto a variables diferentes. Más exactamente, si es una …ver más…

Supongamos que deseamos resolver la integral doble , donde Luego según el teorema Entonces por un lado se tiene que Haciendo se tiene que , luego (11) queda

Con lo cual se tiene que

de donde se cumple la igualdad.
Ejemplo 2. Utilice la Ec.(1) con y , para comprobar el siguiente resultado

Solución:
Este ejemplo lo haremos usando y en la fórmula (1) del teorema.
Para

Tener presente que (la función es par)
Entonces

donde es la región dada en coordenadas polares

Luego en la Ec. (13) se tiene:

O bien,

Para

Tener presente que (la función es par)
Entonces

donde es la región dada en coordenadas esféricas

Luego en la Ec.(14) se tiene:

O bien,

Elevando al cubo a ambos miembros, se tiene:

Pero
Luego el resultado pedido

Este es un resultado fundamental en probabilidad y estadística.
Ejemplo 3. Partiendo de la definición de función gamma encontrar .
Solución

Hacemos el siguiente cambio de